Doplnění na čtverec

Doplnění na čtverec je postup pro transformaci algebraických výrazů, ve kterých se vyskytují členy s proměnnou v první i druhé mocnině. Doplněním na čtverec se výraz upraví tak, že v něm vystupuje pouze kvadrát dvojčlenu obsahujícího tuto proměnnou. Zbavíme se tedy první mocniny proměnné. Přesně řečeno polynom druhého stupně v proměnné x

Animace doplnění na čtverec

$ax^{2}+bx+c$

převedeme do tvaru

$a(x+h)^{2}+k$,

kde h a k jsou vhodně zvolené konstanty závislé na koeficientech a, b, c. Metodu lze použít například k řešení kvadratických rovnic, ke stanovení extrémů kvadratických funkcí, ke zjištění kanonického tvaru kvadriky nebo při výpočtu některých integrálů.

Doplnění na čtverec vychází z platnosti binomických formulí, tedy vzorečků $(u+v)^{2}=u^{2}+2uv+v^{2}$ a $(u-v)^{2}=u^{2}-2uv+v^{2}$. Pokud jsou po ruce první dva členy na pravé straně některé z těchto formulí, lze „přičarovat“ třetí člen tak, že k výrazu přičteme nulu v podobě $0=v^{2}-v^{2}$. Tím chybějící $v^{2}$ do výrazu doplníme a lze použít příslušnou formuli, tedy přejít ke čtverci $(u+v)^{2}$ nebo $(u-v)^{2}$.

Postup

Úprava kvadratické funkce

Daná kvadratická funkce:	$y=ax^{2}+bx+c\,$
Vytknutí koeficientu nejvyšší mocniny:	$y=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x\right)+c$

V závorce nyní přičteme a zároveň odečteme stejnou vhodně zvolenou konstantu, čímž se hodnota závorky nezmění. Konstantu volíme tak, aby první tři sčítance tvořily čtverec nějakého dvojčlenu podle binomické formule. Jinými slovy chceme získat tvar $(x^{2}+2dx+d^{2})-d^{2}$ Tento krok dal metodě jméno - doplňujeme nový člen, abychom získali čtverec, tedy druhou mocninu nějakého výrazu.

Doplnění na čtverec:	$y=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)+c$
První tři členy v závorce zapíšeme jako čtverec dvoujčlenu:	$y=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right]+c$
Umocnění a roznásobení číslem a:	$y=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}+c$
Poslední úpravy a hotovo:	$y=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right)$
Z finálního tvaru lze snadno odečíst souřadnice vrcholu této paraboly:	$(x,y)=\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right)$

$x_{S}=-b/(2a)$ je první souřadnice vrcholu - jde o záporně vzatý druhý sčítanec v umocněném dvojčlenu. Pokud totiž x nabývá této hodnoty, oba členy v první závorce se vyruší a dvojčlen je nulový, a tedy jeho druhá mocnina je nejmenší možná. Pro hodnotu $y$ čili druhou souřadnici vrcholu paraboly $y_{S}$ pak platí $y_{S}=c-a\cdot (x_{S})^{2}$, což je přímo druhá závorka čili konstantní člen upraveného výrazu,

Příklad

Daná kvadratická funkce:	$y=2x^{2}-12x+13\,$
Vytkneme dvojku:	$y=2(x^{2}-6x)+13\,$

Protože $({\tfrac {6}{2}})^{2}=9$, přičteme „maskovanou nulu“ $9-9$:

Doplnění na čtverec:	$y=2(x^{2}-6x+9-9)+13\,$
Zapíšeme jako mocninu dvojčlenu:	$y=2[(x-3)^{2}-9]+13\,$
Roznásobíme:	$y=2(x-3)^{2}-18+13\,$
Upravíme:	$y=2(x-3)^{2}-5\,$
Souřadnice vrcholu:	$(x,y)=(3,-5)\,$

Řešení kvadratické rovnice

Doplnění na čtverec lze použít také k řešení kvadratické rovnice. Přitom si nepotřebujeme pamatovat vzoreček pro kořeny takové rovnice, stačí umět použít trik s doplněním na čtverec. Ukažme si to na příkladu:

Zadaná kvadratická rovnice:	$2x^{2}-12x=32\,$
Vykrácení:	$x^{2}-6x=16\,$

Levou stranu rovnice chceme mít ve tvaru $x^{2}-2dx+d^{2}$, abychom mohli použít vzorec pro čtverec dvojčlenu. Samozřejmě musíme $d^{2}$ přičíst také k pravé straně rovnice:

Doplnění na čtverec:	$x^{2}-6x+9=16+9\,$
Zapíšeme jako mocninu dvojčlenu:	$(x-3)^{2}=25\,$
Odmocníme (pozor, bereme i zápornou hodnotu odmocniny):	$x-3=\pm 5\,$
Napíšeme si obě lineární rovnice a vyřešíme je:	$x-3=-5\,$ nebo $x-3=5\,$
Množina řešení:	$x\in \{-2,8\}$

Integrace racionálních lomených funkcí

Neurčitý integrál

$\int {\frac {1}{4x^{2}-8x+13}}\,\mathrm {d} x$

lze ve jmenovateli upravit doplněním na čtverec

$4x^{2}-8x+13=\dotsb =4(x-1)^{2}+9\,.$

Vytkneme-li a substituujeme za x - 1, dostaneme se k tabulkovému integrálu, v němž opět zpětně substituujeme x:

${\begin{aligned}\int {\frac {1}{4x^{2}-8x+13}}\,\mathrm {d} x&={\frac {1}{4}}\int {\frac {1}{(x-1)^{2}+({\frac {3}{2}})^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {2}{3}}\arctan {\frac {2(x-1)}{3}}+C\end{aligned}}$

V posledním transformačním kroku se použil známý integrál, který lze nalézt v tabulce primitivních funkcí:

$\int {\frac {1}{x^{2}+a^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C$

Normální forma kvadriky

Kvadriku

$Q=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid q(x,y)=0\}$, kde $q(x,y)=x^{2}+4xy+5y^{2}-6x-14y+9$

chceme upravit na afinní normální formu. Nejprve doplníme na čtverec v proměnné $x$ ($y$ se v tuto chvíli považuje za parametr), a potom v $y$. Postup je

${\begin{aligned}q(x,y)&=x^{2}+(4y-6)x+5y^{2}-14y+9\\&=x^{2}+(4y-6)x+(2y-3)^{2}-(2y-3)^{2}+5y^{2}-14y+9\\&=(x+2y-3)^{2}-(2y-3)^{2}+5y^{2}-14y+9\\&=(x+2y-3)^{2}+y^{2}-2y\\&=(x+2y-3)^{2}+y^{2}-2y+1^{2}-1^{2}\\&=(x+2y-3)^{2}+(y-1)^{2}-1\end{aligned}}$

Substitucí $u=x+2y-3$, $v=y-1$ získáme rovnicí kružnice $u^{2}+v^{2}=1$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Quadratische Ergänzung na německé Wikipedii.

Literatura

• FA Willers, KG Krapf: Elementar-Mathematik: Ein Vorkurs zur Höheren Mathematik. 14. Vydání. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-86564-0, s. 84-86

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu doplnění na čtverec na Wikimedia Commons