Cyklometrická funkce

inverzní funkce ke goniometrické funkci

Cyklometrické funkce jsou inverzní zobrazení ke goniometrickým funkcím.

Arkus sínus a arkus kosínus
Arkus tangens a arkus kotangens
Arkus sekans a arkus kosekans

Definice editovat

Mezi cyklometrické funkce patří:

Aby mohla k libovolné funkci existovat inverzní funkce, daná funkce musí být prostá, to znamená, že různým dvěma prvkům musí přiřazovat dvě různé hodnoty. Protože jsou ale goniometrické funkce periodické, tzn. nejsou prosté, musíme nejprve ošetřit jejich definiční obor a také definiční obory goniometrických funkcí. To znamená, že vybereme jen tu podmnožinu definičního oboru dané geometrické funkce, na které je prostá.

Definiční obory cyklometrických a goniometrických funkcí editovat

Goniometrické funkce Cyklometrické funkce
Sinus:   pro   Arkus sinus:   pro  
Cosinus:   pro   Arkus cosinus:   pro  
Tangens:   pro   Arkus tangens:   pro  
Cotangens:   pro   Arkus cotangens:   pro  

Vztahy mezi cyklometrickými a goniometrickými funkcemi editovat

sin a arcsin editovat

 , pokud platí  
 , pokud platí  

cos a arccos editovat

 , pokud platí  
 , pokud platí  

tg a arctg editovat

 , pokud platí  
 

cotg a arccotg editovat

 , pokud platí  
 

Vztahy mezi cyklometrickými funkcemi editovat

 

Dále platí:

 

Vztahy mezi cyklometrickými funkcemi se vzájemně opačnými argumenty editovat

 

Součty a rozdíly cyklometrických funkcí editovat

arcsin x + arcsin y editovat

 

arcsin x − arcsin y editovat

 

arccos x + arccos y editovat

 

arccos x − arccos y editovat

 

arctg x + arctg y editovat

 

arctg x − arctg y editovat

 

arccotg x + arccotg y editovat

 

arcsin x + arccos x editovat

  pokud platí  

arctg x + arccotg x editovat

 

Vyjádření cyklometrických funkcí v logaritmickém tvaru editovat

Cyklometrické funkce se dají také vyjádřit použitím logaritmů a komplexních čísel:

 

Vztahy mezi trigonometrickými funkcemi a cyklometrickými funkcemi editovat

Vztahy goniometrických a cyklometrických funkcí je možné jednoduše odvodit z pravoúhlého trojúhelníka ze znalosti Pythagorovy věty.

        Diagram
         
         
         
         
         
         

Vyjádření nekonečným rozvojem editovat

Rozvoj cyklometrických funkcí lze psát jako:

 

Literatura editovat

  • Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I., Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
  • Bartch, Hans-Jochen: Matematické vzorce, SNTL, Praha 1987, 2. revidované vydání

Externí odkazy editovat

Reference editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cyklometrická funkcia na slovenské Wikipedii.