Argument hyperbolického kosinu

Argument hyperbolického kosinu je hyperbolometrická funkce. Značí se $\operatorname {argcosh} x$, někdy také $\operatorname {arccosh} x$ nebo $\operatorname {ach} x$, případně $\operatorname {cosh} ^{-1}x$.

Graf funkce argument hyperbolického kosinu

Definice

Argument hyperbolického kosinu je definován jako funkce inverzní k hyperbolickému kosinu definovanému na intervalu $\langle 0,\infty )$. Platí $\operatorname {argcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$.

Vlastnosti

• Definiční obor funkce

$\langle 1,\infty )$

• Obor hodnot funkce

$\langle 0,\infty )$

• Argument hyperbolického kosinu není sudá ani lichá funkce.

• Inverzní funkcí k argumentu hyperbolického kosinu je $\cosh(x)$ na intervalu $\langle 0;\,\infty )$.

• Derivace:

${\frac {d}{dx}}\operatorname {argcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

• Neurčitý integrál:

$\int \operatorname {argcosh} \,x\mathrm {d} x=x\operatorname {argcosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C$, kde $C$ je integrační konstanta.

• Zdola omezená, rostoucí funkce
• Neperiodická

Vzorce

• $\operatorname {argcosh} \,(\mathrm {i} x)=\mathrm {i} \arccos x$
• $\ln \,x=\operatorname {argcosh} \,{\frac {x^{2}+1}{2x}}$
• $|\operatorname {argcosh} \,x+\operatorname {argcosh} \,y|=\operatorname {argcosh} \,\left(xy\pm {\sqrt {(x^{2}-1)(y^{2}-1)}}\right),\,x\geq 1,y\geq 1$
• $\operatorname {argcosh} \,x=\operatorname {argsinh} \,{\sqrt {x^{2}-1}},x\geq 1$
• $\operatorname {argcosh} \,x=\operatorname {argtanh} \,{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},x\geq 1$
• $\operatorname {argcosh} \,x=\operatorname {argcoth} \,{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}},x>1$
• $\operatorname {argcosh} \,x=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)$

Užití

• Výpočet $x$-ové souřadnice na řetězovce, známe-li $y$-ovou hodnotu (stavebnictví, architektura).
• Řešení kubické rovnice $x^{3}+px+q=0$ pro případ, že $p<0$ a diskriminant $4p^{3}+27q^{2}>0$ (rovnice má v tomto případě právě jedno reálné řešení). Pak $x=-2{\frac {|q|}{q}}{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cosh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {-3|q|}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)\right]$.

Literatura

• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Praha: Mladá fronta, 1996. ISBN 80-204-0607-7.

Portály: Matematika