Argument hyperbolického kosekans

Argument hyperbolického kosekans je hyperbolometrická funkce. Značí se $\operatorname {arcsch} x$.

Graf funkce argument hyperbolického kosekans

Definice

Argument hyperbolického kosekans je definován jako funkce inverzní k hyperbolickému kosekans definovanému na množině kladných reálných čísel. Platí $\operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right)$.

Vlastnosti

• Definiční obor funkce

${R}\backslash \{0\}$

• Obor hodnot funkce

$(0,\infty )$

• Argument hyperbolického kosekans není sudá ani lichá funkce.

• Inverzní funkcí k argumentu hyperbolického kosekans je $\operatorname {csch} (x)$.

• Derivace:

${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

• Neurčitý integrál:

$\int \operatorname {arcsch} (x)\,dx=x\operatorname {arcsch} (x)+\operatorname {arcoth} {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}+C$, kde $C$ je integrační konstanta.

• Omezená zdola, klesající funkce
• Neperiodická funkce

$\lim _{x\to 0^{+}}\operatorname {arcsch} \,x=\infty$

$\lim _{x\to \infty }\operatorname {arcsch} \,x=0$

Portály: Matematika