Abelova sumace

V matematice je Abelova sumace, pojmenovaná po Nielsi Henriku Abelovi, přepisem n-tého členu posloupnosti na rozdíl dvou po sobě jdoucích členech součtové řady dané touto posloupností.

Definice

Mějme dvě posloupnosti $(a_{n})$ a $(b_{n})$, kde n=1,2,3,... a definujme $A_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$.
Tedy $a_{k}=A_{k}-A_{k-1}$

Potom
$\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=\sum _{k=1}^{n}(A_{k}-A_{k-1})b_{k}=$

$=\sum _{k=1}^{n}A_{k}b_{k}-\sum _{k=1}^{n}A_{k-1}b_{k}=\sum _{k=1}^{n}A_{k}b_{k}-\sum _{k=0}^{n-1}A_{k}b_{k+1}$

A protože $A_{0}=0$, tak můžeme druhou sumu indexovat od jedničky.

$\sum _{k=1}^{n}A_{k}b_{k}-\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}b_{k+1}=\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})+A_{n}b_{n}$

Což je výsledek.

Použití

Abelovy sumace se používá zejména v matematických důkazech, když potřebujeme upravit součin dvou posloupností. Využíváme jí např. při důkazech kriterií konvergence součtové řady - Dirichletovo a Abelovo kriterium.