Čechova kohomologie

Čechova kohomologie je pojem z matematiky, přesněji z algebraické topologie. Používá se však také v matematické teoretické fyzice, globální analýze a diferenciální topologii a geometrii.

Definice

Nechť $X$ je topologický prostor, ${\mathcal {U}}=(U_{j})_{j\in J}$ otevřené pokrytí $X$, ${\mathcal {F}}$ je svazek abelovských grup nad $X$ a $i$ je libovolné nezáporné celé číslo.

Definujme $C^{i}(X,{\mathcal {F}})=\prod _{(j_{0},\ldots ,j_{i})\in J^{i}}{\mathcal {F}}(U_{j_{0}}\cap \ldots \cap U_{j_{i}}).$ Sčítání definujeme po složkách, tj. $(f_{0}^{a},\ldots ,f_{i}^{a})+(f_{0}^{b},\ldots ,f_{i}^{b})=(f_{0}^{a}+f_{0}^{b},\ldots ,f_{i}^{a}+f_{i}^{b}).$ S touto operací je $C^{i}(X,{\mathcal {F}})$ abelovská grupa. Pokud a je element ${\mathcal {F}}(U_{j_{0}}\cap \ldots \cap U_{j_{i}})$ pro nějaké $(j_{0},\ldots ,j_{i})\in J^{i+1}$, označíme tento fakt na symbolické úrovni pomocí $a=a_{j_{0}\ldots j_{i}}.$ (Nejedná se o definici konkrétního prvku.)

Definujme homomorfismus $\delta ^{i}:C^{i}(X,{\mathcal {F}})\to C^{i+1}(X,{\mathcal {F}})$ předpisem $\delta ^{i}(a)=\sum _{j=0}^{i+1}(-1)^{j}a_{(i_{0}\ldots {\hat {i_{j}}}\ldots i_{i+1})}.$ Lze ověřit, že $\delta ^{i+1}\delta ^{i}=0$, tj. že $\delta ^{i}$ je tzv. kořetězcové zobrazení (komplexů abelovských grup) popřípadě tzv. gradovaný diferenciál.

Pak $i$-tá Čechova kohomologická grupa ${\check {H}}^{i}(X,{\mathcal {F}})$ pro $X$, ${\mathcal {U}}$ a ${\mathcal {F}}$ je faktorgrupa ${\frac {{\mbox{Ker}}(\delta ^{i})}{{\mbox{Im}}(\delta ^{i-1})}}.$

Definice má smysl, neboť ${\mbox{Im}}(\delta ^{i-1})\subseteq {\mbox{Ker}}(\delta ^{i}),$ jak plyne z $\delta ^{i}\delta ^{i-1}=0.$

Navíc, jelikož je $C^{i}(X,{\mathcal {F}})$ abelovská, je její každá podgrupa normální, a proto je i podíl grupou, a to grupou abelovskou.

Terminologie

• Elementy $C^{i}(X,{\mathcal {F}})$ se nazývají kořetězce.
• Homomorfismus $\delta ^{i}$ se nazývá Čechův kodiferenciál.
• Elementy z ${\mbox{Ker}}(\delta ^{i})$ nazýváme kocykly.
• Elementy z ${\mbox{Im}}(\delta ^{i-1})$ nazýváme kohranice.

Předpona „ko“ se dodává zejména z toho důvodu, že diferenciál zobrazuje $C^{i}(X,{\mathcal {F}})\to C^{i+1}(X,{\mathcal {F}})$ . (V případě „opačného směru“ by se předpona „ko“ vynechávala.)

Čechovy kohomologické grupy definoval český matematik Eduard Čech. Na jeho počest se v jejich označení objevuje diakriticismus: háček nad písmenem H.

Vlastnosti

Pokud X je parakompaktní, lze ukázat, že Čechova kohomologická grupa nezávisí na výběru pokrytí ${\mathcal {U}}.$ O tom, jak Čechovu kohomologii v některých případech počítat, nás informuje tzv. Lerayova věta o dobrém pokrytí pro Čechovu kohomologii.

Tzv. deRhamova věta dává do souvislosti Čechovu kohomologickou grupu a deRhamovu grupu kompaktní diferencovatelné variety. Tato věta zní.

Nechť $X$ je kompaktní diferencovatelná varieta a ${\mathcal {R}}$ je svazek lokálně konstantních reálných funkcí na $X$. Pak existuje izomorfismus abelovských grup $H_{dR}^{i}(X,\mathbb {R} )$ a ${\check {H}}^{i}(X,{\mathcal {R}})$.

Zatímco deRhamova kohomologická grupa dle definice zachycuje informaci o uzavřených diferencovatelných formách, které nejsou exaktní, a tak se do jisté míry vyjadřuje k řešení lineárních parciálních diferenciálních rovnic na hladkých varietách, Čechova kohomologie se na základě své definice zdá spíše objektem kombinatorického rázu, a proto je deRhamova věta pokládána za překvapivé tvrzení.